Х-ЕГЭ
Масса и плотность

Темы кодификатора ЕГЭ: масса тела, плотность вещества.

Масса – одна из самых фундаментальных физических величин. Масса характеризует сразу несколько свойств тела и обладает рядом важных свойств.

1. Масса служит мерой содержащегося в теле вещества.

2. Масса является мерой инертности тела. Инертностью называется свойство тела сохранять свою скорость неизменной (в инерциальной системе отсчёта), когда внешние воздействия отсутствуют или компенсируют друг друга. При наличии внешних воздействий инертность тела проявляется в том, что его скорость меняется не мгновенно, а постепенно, и тем медленнее, чем больше инертность (т. е. масса) тела.

3. Массы тел являются причиной их гравитационного притяжения друг к другу .

4. Масса тела равна сумме масс его частей. Это так называемая аддитивность массы. Аддитивность позволяет использовать для измерения массы эталон – 1 кг.

5. Масса изолированной системы тел не меняется со временем (закон сохранения массы).

6. Масса тела не зависит от скорости его движения. Масса не меняется при переходе от одной системы отсчёта к другой.

Перечисленные свойства имеют место в классической механике Ньютона. В теории относительности некоторые из этих утверждений перестают быть справедливыми.

Плотностью однородного тела называется отношение массы тела к его объёму:

p=\frac{\displaystyle m}{\displaystyle V}.

Плотность не зависит от геометрических свойств тела (формы, объёма) и является характеристикой вещества тела. Плотности веществ представлены в справочных таблицах. Желательно помнить плотность воды: 1000 кг/м3.

Первый закон Ньютона

Темы кодификатора ЕГЭ: законы динамики, первый закон Ньютона, инерциальные системы отсчёта, принцип относительности Галилея.

Все тела в природе взаимодействуют друг с другом. Однако в некоторых ситуациях воздействия на данное тело со стороны других тел можно не принимать во внимание.

Так, космический корабль в далёком межзвёздном пространстве практически не испытывает гравитационного притяжения объектов Вселенной из-за их колоссальной удалённости*. Лежащий на столе карандаш притягивается к Земле, но действие Земли компенсируется упругой реакцией стола, и поэтому карандаш находится в покое, словно никакие силы на него вообще не действуют.

Во всех подобных случаях будем называть тело свободным.

Тело называется свободным, если действия на него со стороны других тел или пренебрежимо малы, или компенсируют друг друга.

*Согласно закону всемирного тяготения гравитационные силы обратно пропорциональны квадрату расстояния между телами.

Инерциальные системы отсчёта.

Повседневный опыт говорит о том, что свободные тела покоятся – как упомянутый карандаш на столе. Поэтому долгое время считалось, что для поддержания какого бы то ни было движения необходимо осуществлять нескомпенсированное внешнее воздействие со стороны других тел.

Но это оказалось неверным. Как установил Галилей, свободное тело может не только находиться в покое, но и двигаться равномерно и прямолинейно! Именно состояние равномерного прямолинейного движения является “естественным” для свободного тела; покой же – частный случай такого движения со скоростью, равной нулю.

Следует учесть, однако, что движение относительно: оно рассматривается не само по себе, а в определённой системе отсчёта. В различных же системах отсчёта движение данного тела будет выглядеть по-разному.

Так, дом с точки зрения неподвижно стоящего наблюдателя будет находиться в покое: сила притяжения дома к Земле компенсируется силой упругости почвы. Если наблюдатель движется относительно земли равномерно и прямолинейно, то и дом относительно наблюдателя будет совершать равномерное прямолинейное движение в полном соответствии с выводами Галилея – ведь дом является свободным телом!

Но если у наблюдателя заплетаются ноги и он бредёт, шатаясь, то ему будет казаться, что дом раскачивается в разные стороны. В этой системе отсчёта дом, будучи свободным телом, совершает отнюдь не равномерное и прямолинейное движение.

Таким образом, утверждение Галилея верно не во всей общности: не во всякой системе отсчёта свободное тело движется равномерно и прямолинейно. Но всё же такие системы отсчёта существуют (существуют “хорошие” наблюдатели!), и в этом состоит первый закон Ньютона.

Первый закон Ньютона. Существуют такие системы отсчёта, относительно которых свободное тело движется равномерно и прямолинейно.

Свойство свободного тела сохранять скорость неизменной называется инерцией. Поэтому первый закон Ньютона называют ещё законом инерции. Равномерное прямолинейное движение свободного тела называется движением по инерции.

Система отсчёта, относительно которой свободное тело движется равномерно и прямолинейно, называется инерциальной. Первый закон Ньютона – это постулат о существовании инерциальных систем отсчёта. В инерциальных системах отсчёта механические явления описываются наиболее просто.

В действительности инерциальных систем отсчёта существует бесконечно много: всякая система отсчёта, которая движется относительно инерциальной системы равномерно и прямолинейно, сама является инерциальной.

Система отсчёта, которая движется относительно инерциальной системы отсчёта с ускорением, является неинерциальной. В такой “плохой” системе отсчёта свободное тело будет двигаться с ускорением, что усложнит описание его движения.

С достаточно высокой точностью можно считать инерциальной гелиоцентрическую систему (систему Коперника). Это система отсчёта, начало которой помещено в центре Солнца, а координатные оси направлены на три какие-либо удалённые звезды, которые можно принять за неподвижные.

Инерциальной часто можно считать систему отсчёта, связанную с земной поверхностью. Это, однако, более грубое приближение – ведь при этом мы отвлекаемся от вращения Земли вокруг собственной оси и вокруг Солнца. Так, звезда, неподвижная в системе Коперника, в земной системе будет совершать сложное движение в виде наложения двух вращений (суточного и годового). Однако в большинстве явлений, происходящих на поверхности Земли, неинерциальность земной системы отсчёта практически никак не сказывается, и ею можно пренебречь.

Принцип относительности.

Галилей заметил, что, находясь в трюме корабля, никакими механическими опытами невозможно установить, покоится ли корабль или движется равномерно и прямолинейно. Это означает, что инерциальные системы отсчёта совершенно неотличимы друг от друга с точки зрения законов механики. Иными словами, верен принцип относительности Галилея.

Принцип относительности Галилея. Всякое механическое явление при одних и тех же начальных условиях протекает одинаково в любой инерциальной системе отсчёта. Впоследствии Эйнштейн распространил этот принцип с механических явлений на вообще все физические явления. Общий принцип относительности Эйнштейна лёг в основу теории относительности. Принцип относительности Галилея и Эйнштейна мы обсудим подробнее при изучении основ специальной теории относительности.

Путь при неравномерном движении
Путь при неравномерном движении

Сейчас мы будем рассматривать неравномерное движение – то есть движение, при котором абсолютная величина скорости меняется со временем. Оказывается, существует простая геометрическая интерпретация пути, пройденного телом при произвольном движении.

Начнём с равномерного движения. Пусть скорость тела постоянна и равна v. Возьмём два момента времени: начальный момент t_{\displaystyle 1} и конечный момент t_{\displaystyle 2}. Длительность рассматриваемого промежутка времени равна \Delta t= t_{\displaystyle 2} - t_{\displaystyle 1}.

Очевидно, что за промежуток времени [t_{\displaystyle 1},t_{\displaystyle 2}] тело проходит путь:

s=v(t_{\displaystyle 2}-t_{\displaystyle 1})=v\Delta t (1)

Давайте построим график зависимости скорости от времени. В данном случае это будет прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 1).

Рис. 1. Путь при равномерном движении

Нетрудно видеть, что пройденный путь равен площади прямоугольника, расположенного под графиком скорости. В самом деле, первый множитель v в формуле (1) есть вертикальная сторона этого прямоугольника, а второй множитель \Delta t – его горизонтальная сторона.

Теперь нам предстоит обобщить эту геометрическую интерпретацию на случай неравномерного движения.

Пусть скорость тела v зависит от времени, и на рассматриваемом промежутке [t_{\displaystyle 1},t_{\displaystyle 2}] график скорости выглядит, например, так (рис. 2):

Рис. 2. Неравномерное движение

Дальше мы рассуждаем следующим образом.

1. Разобьём наш промежуток времени [t_{\displaystyle 1},t_{\displaystyle 2}] на небольшие отрезки величиной \Delta t.

2. Предположим, что на каждом таком отрезке [t_{\displaystyle i},t_{\displaystyle i}+\Delta t] тело движется с постоянной скоростью v(t_{\displaystyle i}). То есть, плавное изменение скорости заменим ступенчатой аппроксимацией*: в течение каждого небольшого отрезка времени тело движется равномерно, а затем скорость тела мгновенно и cкачком меняется.

На рис. 3 показаны две ступенчатые аппроксимации. Ширина ступенек \Delta t на правом рисунке вдвое меньше, чем на левом.

Рис. 3. Ступенчатая аппроксимация

Путь, пройденный за время \Delta t равномерного движения – это площадь прямоугольника, расположенного под ступенькой. Поэтому путь, пройденный за всё время такого “ступенчатого” движения – это сумма площадей всех прямоугольников на графике.

3. Теперь устремляем \Delta t к нулю. Ясно, что в пределе наша ступенчатая аппроксимация перейдёт в исходный график скорости на рис. 2. Сумма площадей прямоугольников перейдёт в площадь под графиком скорости; следовательно, эта площадь и есть путь, пройденный телом за время от t_{\displaystyle 1} до t_{\displaystyle 2}. (рис. 4

Рис. 4. Путь при неравномерном движении

В итоге мы приходим к нужному нам обобщению геометрической интерпретации пути, полученной выше для случая равномерного движения.

Аппроксимация – это приближённая замена достаточно сложного объекта более простой моделью, которую удобнее изучать.

Геометрическая интерпретация пути.Путь, пройденный телом при любом движении, равен площади под графиком скорости на заданном промежутке времени.

Посмотрим, как работает эта геометрическая интерпретация в важном частном случае равноускоренного движения.

Задача. Тело, имеющее скорость v_{0} в начальный момент t=0, разгоняется с постоянным ускорением a. Найти путь, пройденный телом к моменту времени t.

Решение. Зависимость скорости от времени в данном случае имеет вид:

v=v_{0}+at. (2)

График скорости – прямая, изображённая на рис. 5. Искомый путь есть площадь трапеции, расположенной под графиком скорости.

Рис. 5. Путь при равноускоренном движении

Меньшее основание трапеции равно v_{0}. Большее основание равно v=v_{0}+at. Высота трапеции равна t. Поскольку площадь трапеции есть произведение полусуммы оснований на высоту, имеем:

s=\frac{\displaystyle v_{0}+\displaystyle v}{2}\cdot t=\frac{\displaystyle v_{0}+(v_{0}+at)}{2}\cdot t=\frac{\displaystyle 2v_{0}t+at^{2}}{2}.

Эту формулу можно переписать в более привычном виде:

s=v_{0}t+\frac{\displaystyle at^{2}}{\displaystyle2}.

Она, разумеется, вам хорошо известна из темы “Равноускоренное движение”.

Задача. График скорости тела является полуокружностью диаметра \tau (рис. 6). Максимальная скорость тела равна v. Найти путь, пройденный телом за время \tau .

Решение. Как вы знаете, площадь круга радиуса R равна \pi R^{2}. Но в данной задаче необходимо учесть, что радиусы полуокружности имеют разные размерности: горизонтальный радиус есть время \tau /2 , а вертикальный радиус есть скорость v.

Поэтому пройденный путь, вычисляемый как площадь полукруга, равен половине произведения \pi на горизонтальный радиус и на вертикальный радиус:

s=\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot \frac{\displaystyle \tau }{2}\cdot v=\frac{\displaystyle \pi v\tau }{\displaystyle 4}.
Рис. 6. К задаче
Равномерное движение по окружности
Равномерное движение по окружности

Темы кодификатора ЕГЭ: движение по окружности с постоянной по модулю скоростью, центростремительное ускорение.

Равномерное движение по окружности – это достаточно простой пример движения с вектором ускорения, зависящим от времени.

Пусть точка вращается по окружности радиуса r. Скорость точки постоянна по модулю и равна v. Скорость v называется линейной скоростью точки.

Период обращения – это время одного полного оборота. Для периода T имеем очевидную формулу:

T=\frac{\displaystyle 2\pi r}{\displaystyle v}. (1)

Частота обращения – это величина, обратная периоду:

\nu =\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle T}.

Частота показывает, сколько полных оборотов точка совершает за секунду. Измеряется частота в об/с (обороты в секунду).

Пусть, например, T=0,1 c. Это означает, что за время 0,1 c точка совершает один полный

оборот. Частота при этом получается равна: \nu = 1/0,1 = 10 об/с; за секунду точка совершает 10 полных оборотов.

Угловая скорость.

Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат. Поместим начало координат в центре окружности (рис. 1).

Рис. 1. Равномерное движение по окружности

Пусть M_{0} – начальное положение точки; иными словами, при t = 0 точка имела координаты (r, 0). Пусть за время t точка повернулась на угол \varphi и заняла положение M.

Отношение угла поворота ко времени называется угловой скоростью вращения точки:

\omega =\frac{\displaystyle \varphi }{\displaystyle t}. (2)

Угол \varphi, как правило, измеряется в радианах, поэтому угловая скорость измеряется в рад/с. За время, равное периоду вращения, точка поворачивается на угол 2\pi . Поэтому

\omega =\frac{\displaystyle 2\pi }{\displaystyle t}. (3)

Сопоставляя формулы (1) и (3), получаем связь линейной и угловой скоростей:

v= \omega r. (4)

Закон движения.

Найдём теперь зависимость координат вращающейся точки от времени. Видим из рис. 1, что

x=r cos \varphi, y=r sin \varphi.

Но из формулы (2) имеем: \varphi= \omega t. Следовательно,

x=r cos \omega t, y=r sin \omega t. (5)

Формулы (5) являются решением основной задачи механики для равномерного движения точки по окружности.

Центростремительное ускорение.

Теперь нас интересует ускорение вращающейся точки. Его можно найти, дважды продифференцировав соотношения (5):

v_{\displaystyle x}=\dot{x}=-\omega r sin \omega t, v_{\displaystyle y}=\dot{y}=\omega r cos\omega t,
a_{x}=\dot{v_{x}}=-\omega ^{2}rcos\omega t, a_{y}=\dot{v}y=-\omega ^{2}rsin\omega t.

С учётом формул (5) имеем:

a_{x}=-\omega^{2}x, a_{y}=-\omega^{2}y. (6)

Полученные формулы (6) можно записать в виде одного векторного равенства:

\vec{a}=-\omega^{2}\vec{r}, (7)

где \vec{r} – радиус-вектор вращающейся точки.

Мы видим, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, т. е. к центру окружности (см. рис. 1). Поэтому ускорение точки, равномерно движущейся по окружности, называется центростремительным.

Кроме того, из формулы (7) мы получаем выражение для модуля центростремительного ускорения:

a=\omega^{2}r. (8)

Выразим угловую скорость из (4)

\omega =\frac{\displaystyle v}{\displaystyle r}

и подставим в (8). Получим ещё одну формулу для центростремительного ускорения:

a=\frac{\displaystyle v^{2}}{\displaystyle r}.

Равноускоренное движение
Равноускоренное движение

Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость, ускорение, уравнения прямолинейного равноускоренного движения, свободное падение.

Равноускоренное движение – это движение с постоянным вектором ускорения \vec a. Таким образом, при равноускоренном движении остаются неизменными направление и абсолютная величина ускорения.

Зависимость скорости от времени.

При изучении равномерного прямолинейного движения вопрос зависимости скорости от времени не возникал: скорость была постоянна в процессе движения. Однако при равноускоренном движении скорость меняется с течением времени, и эту зависимость нам предстоит выяснить.

Давайте ещё раз потренируемся в элементарном интегрировании. Исходим из того, что производная вектора скорости есть вектор ускорения:

\frac{\displaystyle d\vec{v}}{\displaystyle dt}=\vec{a}. (1)

В нашем случае имеем \vec a = const. Что надо продифференцировать, чтобы получить постоянный вектор \vec a? Разумеется, функцию \vec a t. Но не только: к ней можно добавить ещё произвольный постоянный вектор \vec c (ведь производная постоянного вектора равна нулю). Таким образом,

\vec{v}=\vec{c} + \vec{a}t. (2)

Каков смысл константы \vec c? В начальный момент времени t=0 скорость равна своему начальному значению: \vec v=\vec v_{0}. Поэтому, полагая t=0 в формуле (2), получим:

\vec v_{0}=\vec c.

Итак, константа \vec c – это начальная скорость тела. Теперь соотношение (2) принимает свой окончательный вид:

\vec v=\vec v_{0}+\vec {a}t. (3)

В конкретных задачах мы выбираем систему координат и переходим к проекциям на координатные оси. Часто хватает двух осей OX и OY прямоугольной декартовой системы координат, и векторная формула (3) даёт два скалярных равенства:

v_{\displaystyle x}=v{\displaystyle 0x}+a_{\displaystyle x}t, (4)

v_{\displaystyle y}=v{\displaystyle 0y}+a_{\displaystyle y}t. (5)

Формула для третьей компоненты скорости,v_{\displaystyle z} если она необходима, выглядит аналогично.)

Закон движения.

Теперь мы можем найти закон движения, то есть зависимость радиус-вектора от времени. Вспоминаем, что производная радиус-вектора есть скорость тела:

\frac{\displaystyle d\vec{r}}{\displaystyle dt}=\vec{v}

Подставляем сюда выражение для скорости, даваемое формулой (3):

\frac{\displaystyle d\vec{r}}{\displaystyle dt}=\vec v_{0}+\vec {a}t (6)

Сейчас нам предстоит проинтегрировать равенство (6). Это несложно. Чтобы получить \vec v_{0}, надо продифференцировать функцию \vec v_{0}t. Чтобы получить \vec {a} t, нужно продифференцировать \vec {a} t^{2} /2. Не забудем добавить и произвольную константу \vec c:

\vec r=\vec c+\vec v_{0} t+\frac{\displaystyle \vec a t^{2}}{\displaystyle 2}.

Ясно, что \vec c – это начальное значение \vec r_{0} радиус-вектора \vec r в момент времени t=0. В результате получаем искомый закон равноускоренного движения:

\vec r=\vec r_{0}+\vec v_{0} t+\frac{\displaystyle \vec a t^{2}}{\displaystyle 2}. (7)

Переходя к проекциям на координатные оси, вместо одного векторного равенства (7) получаем три скалярных равенства:

x=x_{0}+ v_{\displaystyle 0x} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle x} t^{2}}{\displaystyle 2}. (8)

y=y_{0}+ v_{\displaystyle 0y} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle y} t^{2}}{\displaystyle 2}. (9)

z=z_{0}+ v_{\displaystyle 0z} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle z} t^{2}}{\displaystyle 2}. (10)

Формулы (8) – (10) дают зависимость координат тела от времени и поэтому служат решением основной задачи механики для равноускоренного движения.

Снова вернёмся к закону движения (7). Заметим, что \vec r - \vec r_{0}=\vec s – перемещение тела. Тогда

получаем зависимость перемещения от времени:

\vec s= \vec v_{0} t+\frac{\displaystyle \vec a t^{2}}{\displaystyle 2}.

Прямолинейное равноускоренное движение.

Если равноускоренное движение является прямолинейным, то удобно выбрать координатную ось вдоль прямой, по которой движется тело. Пусть, например, это будет ось OX. Тогда для решения задач нам достаточно будет трёх формул:

v_{\displaystyle x}=v_{\displaystyle 0x}+a_{\displaystyle x}t,

x=x_{0}+ v_{0 \displaystyle x} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle x} t^{2}}{\displaystyle 2},

s_{x}= v_{0x} t+\frac{\displaystyle a_{x} t^{2}}{\displaystyle 2},

где s_{x}= x-x_{0} – проекция перемещения на ось OX.

Но очень часто помогает ещё одна формула, являющаяся их следствием. Выразим из первой формулы время:

t=\frac{\displaystyle v_{\displaystyle x}-\displaystyle v_{\displaystyle 0x}}{\displaystyle a_{\displaystyle x}}

и подставим в формулу для перемещения:

s_{x}= v_{0x} \frac{\displaystyle v_{\displaystyle x}-\displaystyle v_{\displaystyle 0x}}{\displaystyle a_{\displaystyle x}}+\frac{\displaystyle a_{x}}{2} (\frac{\displaystyle v_{\displaystyle x}-\displaystyle v_{\displaystyle 0x}}{\displaystyle a_{\displaystyle x}})^{2} .

После алгебраических преобразований (проделайте их обязательно!) придём к соотношению:

s_{x}=\frac{\displaystyle v_{\displaystyle x}^{\displaystyle 2}-\displaystyle v_{\displaystyle 0x}^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2a_{\displaystyle x}}.

Эта формула не содержит времени t и позволяет быстрее приходить к ответу в тех задачах, где время не фигурирует.

Свободное падение.

Важным частным случаем равноускоренного движения является свободное падение. Так называется движение тела вблизи поверхности Земли без учёта сопротивления воздуха.

Свободное падение тела, независимо от его массы, происходит с постоянным ускорением свободного падения \vec g, направленным вертикально вниз. Почти во всех задачах при расчётах полагают g=10 м/с^{2}.

Давайте разберём несколько задач и посмотрим, как работают выведенные нами формулы для равноускоренного движения.

Задача. Найти скорость приземления дождевой капли, если высота тучи h=2 км.

Решение. Направим ось OY вертикально вниз, расположив начало отсчёта в точке отрыва капли. Воспользуемся формулой

s_{y}=\frac{\displaystyle v_{\displaystyle y}^{\displaystyle 2}-\displaystyle v_{\displaystyle 0y}^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2a_{\displaystyle y}}.

Имеем: s_{y}=h, v_{y}=v – искомая скорость приземления, v_{0y}=0, a_{y}=g. Получаем: h^{2}=\frac{v^{2}}{2g}, откуда v=\sqrt{2gh}. Вычисляем: v=\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2000}=200м/с. Это 720 км/ч, порядка скорости пули.

На самом деле капли дождя падают со скоростью порядка нескольких метров в секунду. Почему такое расхождение? Сопротивление воздуха!

Задача. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v_{0}=30 м/с. Найти его скорость через t=5c.

Решение. Направим ось OY вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли. Используем формулу

v_{\displaystyle y}=v_{\displaystyle 0y}+a_{\displaystyle y}t.

Здесь v_{\displaystyle 0y}=v_{0}, a_{y}=-g, так что v_{\displaystyle y}=v_{\displaystyle 0}-gt. Вычисляем: v_{\displaystyle y}=30-10 \cdot 5=-20м/с. Значит, скорость будет равна 20 м/с. Знак проекции указывает на то, что тело будет лететь вниз.

Задача. С балкона, находящегося на высоте h=15м, бросили вертикально вверх камень со скоростью v_{0}=10 м/с. Через какое время камень упадёт на землю?

Решение. Направим ось OY вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли. Используем формулу

y=y_{0}+ v_{\displaystyle 0y} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle y} t^{2}}{\displaystyle 2}.

Имеем: y=0, y_{0} = h, v_{0y}=v_{0}, a_{y}=-g, так что 0=h+v_{0}t-\frac{\displaystyle g t^{2}}{\displaystyle 2}=15+10t-5t^{2}, или t^{2}-2t-3=0. Решая квадратное уравнение, получим t=3 c.

Горизонтальный бросок.

Равноускоренное движение не обязательно является прямолинейным. Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально.

Предположим, что тело брошено горизонтально со скоростью v_{0} с высоты h. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории происходит движение.

Выберем систему координат OXY так, как показано на рис. 1.

Рис. 1. Горизонтальный бросок

Используем формулы:

x=x_{0}+ v_{\displaystyle 0x} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle x} t^{2}}{\displaystyle 2}
y=y_{0}+ v_{\displaystyle 0y} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle y} t^{2}}{\displaystyle 2}

В нашем случае x_{0} = 0, v_{0x}=v_{0}, a_{x}=0, y_{0} = h, v_{0y}=0, a_{y}=-g . Получаем:

x=v_{0}t, y=h-\frac{\displaystyle g t^{2}}{\displaystyle 2}. (11)

Время полёта T найдём из условия, что в момент падения координата тела y обращается в нуль:

y(T)=0\Rightarrow h-\frac{\displaystyle gT^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2}=0\Rightarrow T=\sqrt{\frac{\displaystyle 2h}{\displaystyle g}}.

Дальность полёта L – это значение координаты x в момент времени T:

L=x(T)=v_{0}T=v_{0} \sqrt{\frac{\displaystyle 2h}{\displaystyle g}}.

Уравнение траектории получим, исключая время из уравнений (11). Выражаем t из первого уравнения и подставляем во второе:

t=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle v_{\displaystyle 0}}\Rightarrow y=h-\frac{\displaystyle g}{\displaystyle 2}(\frac{\displaystyle x}{\displaystyle v_{\displaystyle 0}})^{\displaystyle 2}=\displaystyle h-\frac{\displaystyle gx^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2v^{\displaystyle 2}_{\displaystyle 0}}.

Получили зависимость y от x, которая является уравнением параболы. Следовательно, тело летит по параболе.

Бросок под углом к горизонту.

Рассмотрим несколько более сложный случай равноускоренного движения: полёт тела, брошенного под углом к горизонту.

Предположим, что тело брошено с поверхности Земли со скоростью v_{0} , направленной под углом \alpha к горизонту. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории двигается тело.

Выберем систему координат OXY так, как показано на рис. 2.

Рис. 2. Бросок под углом к горизонту

Начинаем с уравнений:

x=x_{0}+ v_{\displaystyle 0x} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle x} t^{2}}{\displaystyle 2},

y=y_{0}+ v_{\displaystyle 0y} t+\frac{\displaystyle a_{\displaystyle y} t^{2}}{\displaystyle 2}.

В нашем случае x_{0} =y_{0}=0, v_{0x}=v_{0}cos \alpha, v_{0y}=v_{0}sin \alpha , a_{x}=0, a_{y}=-g. Получаем:

x=(v_{0}cos \alpha )t, y=(v_{0}sin \alpha)t- \frac{\displaystyle g t^{2}}{\displaystyle 2}.

Дальше действуем так же, как и в случае горизонтального броска. В результате приходим к соотношениям:

T=\frac{\displaystyle 2v_{\displaystyle 0}sin\alpha }{\displaystyle g},

L=\frac{\displaystyle v_{\displaystyle 0}^{\displaystyle 2}sin2\alpha }{\displaystyle g},

y=x tg\alpha -\frac{\displaystyle gx^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2v^{\displaystyle 2}_{0}cos^{\displaystyle 2}\alpha }.

(Обязательно проделайте эти вычисления самостоятельно!) Как видим, зависимость y от x снова является уравнением параболы.Попробуйте также показать, что максимальная высота подъёма определяется формулой:

H=\frac{\displaystyle v_{\displaystyle 0}^{\displaystyle 2}sin^{2} \alpha }{\displaystyle 2g}.

Равномерное прямолинейное движение
Равномерное прямолинейное движение

Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость.

Равномерное прямолинейное движение материальной точки – это движение с постоянной скоростью \vec{v}. Обратите внимание, что речь идёт о постоянстве вектора скорости; это значит, что скорость неизменна как по модулю, так и по направлению.

Траекторией тела при равномерном прямолинейном движении служит прямая (или часть прямой – например, отрезок или луч). Вдоль данной прямой тело движется равномерно, то есть с постоянной по модулю скоростью.

Закон движения.

Предположим, что тело, двигаясь равномерно и прямолинейно со скоростью \vec{v}, переместилось за время t из точки M_{0} в точку M (рис. 1). Вектор перемещения есть \vec{s}=\overrightarrow{M_{0}M}.

Рис. 1. Равномерное прямолинейное движение

Путь, пройденный телом, равен длине s вектора перемещения. Очевидно, что выполнено соотношение:

s=vt,, (1)

где v – модуль вектора скорости.

Формула (1) справедлива для любого равномерного движения (не обязательно прямолинейного). Но в случае прямолинейного равномерного движения эта формула становится соотношением между векторами. В самом деле, поскольку векторы \vec{s} и \vec{v} сонаправлены, формула (1) позволяет записать:

\vec{s}=\vec{v}t. (2)

Как обычно, движение тела рассматривается в некоторой системе отсчёта, связанной с телом отсчёта O (рис. (1); координатные оси не изображаем). Пусть \vec{r_{0}} – радиус-вектор начальной точки M_{0} и \vec{r} – радиус-вектор конечной точки M. Тогда, очевидно,

\vec{s}=\vec{r}-\vec{r_{0}}. Подставим эту разность в формулу (2):

\vec{r}-\vec{r_{0}}=\vec{v}t.

Отсюда получаем закон движения, то есть зависимость радиус-вектора тела от времени:

\vec{r}=\vec{r_{0}}+\vec{v}t. (3)

Закон движения решает основную задачу механики, то есть позволяет найти зависимость координат тела от времени. Делается это просто.

Координаты точки M_{0} обозначим (x_{0},y_{0},z_{0}). Они же являются координатами вектора \vec{r_{0}}. Координаты точки M (и вектора \vec{r}) обозначим (x, y, z). Тогда векторная формула (3) приводит к трём координатным соотношениям:

\displaystyle x=\displaystyle x_{0}+\displaystyle v_{\displaystyle x}\displaystyle t, (4)

y=y_{0}+v_{\displaystyle y}t, (5)

z=z_{0}+v_{\displaystyle z}t. (6)

Формулы (4)-(6) представляют координаты тела как функции времени и потому служат решением основной задачи механики для равномерного прямолинейного движения.

Интегрирование.

Ключевая формула (3), описывающая равномерное прямолинейное движение, может быть получена из несколько иных соображений. Вспомним, что производная радиус-вектора есть скорость точки:

\frac{\displaystyle d\vec{r}}{\displaystyle dt}=\vec{v}. (7)

В случае равномерного прямолинейного движения имеем \vec{v}=const. Что нужно продифференцировать, чтобы получить постоянный вектор \vec{v}? Очевидно, функцию \vec{v}t. Но не только: к величине \vec{v}t можно прибавить любой постоянный вектор \vec{c} (это не изменит производную, поскольку производная константы равна нулю). Таким образом:

\vec{r}=\vec{c}+\vec{v}t. (8)

Каков смысл константы \vec{c}? Если t=0, то радиус-вектор \vec{r} равен своему начальному значению \vec{r_{0}}. Поэтому, полагая t=0 в формуле (8), получим:

\vec{r_{0}}=\vec{c}.

Итак, вектор \vec{c} есть начальное значение радиус-вектора, и теперь из (8) мы снова приходим к формуле (3):

\vec{r}=\vec{r_{0}}+\vec{v}t.

Мы, таким образом, проинтегрировали равенство (7) при условии, что \vec{v}=const. Интегрирование – это операция, обратная дифференцированию. Интегрировать в физике приходится на каждом шагу, так что привыкайте 🙂

Механическое движение
Механическое движение

Темы кодификатора ЕГЭ: механическое движение и его виды, относительность механического движения, скорость, ускорение.

Понятие движения является чрезвычайно общим и охватывает самый широкий круг явлений. В физике изучают различные виды движения. Простейшим из них является механическое движение. Оно изучается в механике.

Механическое движение — это изменение положение тела (или его частей) в пространстве относительно других тел с течением времени.

Если тело A меняет своё положение относительно тела B, то и тело B меняет своё положение относительно тела A. Иначе говоря, если тело A движется относительно тела B, то и тело B движется относительно тела A. Механическое движение является относительным — для описания движения необходимо указать, относительно какого тела оно рассматривается.

Так, например, можно говорить о движении поезда относительно земли, пассажира относительно поезда, мухи относительно пассажира и т. д. Понятия абсолютного движения и абсолютного покоя не имеют смысла: пассажир, покоящийся относительно поезда, будет двигаться с ним относительно столба на дороге, совершать вместе с Землёй суточное вращение и двигаться вокруг Солнца.

Тело, относительно которого рассматривается движение, называется телом отсчёта.

Основной задачей механики является определение положения движущегося тела в любой момент времени. Для решения этой задачи удобно представить движение тела как изменение координат его точек с течением времени. Чтобы измерить координаты, нужна система координат. Чтобы измерять время, нужны часы. Всё это вместе образует систему отсчёта.

Система отсчёта — это тело отсчёта вместе с жёстко связанной с ним («вмороженной»» в него) системой координат и часами.

Система отсчёта показана на рис. 1. Движение точки M рассматривается в системе координат OXYZ . Начало координат O является телом отсчёта.

Рисунок 1.

Вектор \vec{r} = \overrightarrow{OM} называется радиус-вектором точки M. Координаты x, y, z точки M являются в то же время координатами её радиус-вектора r.

Решение основной задачи механики для точки M состоит в нахождении её координат как функций времени: x = x(t), y = y(t), z = z(t).

В ряде случаев можно отвлечься от формы и размеров изучаемого объекта и рассматривать его просто как движущуюся точку.

Материальная точка — это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

Так, поезд можно считать материальной точкой при его движении из Москвы в Саратов, но не при посадке в него пассажиров. Землю можно считать материальной точкой при описании её движения вокруг Солнца, но не её суточного вращения вокруг собственной оси.

К характеристикам механического движения относятся траектория, путь, перемещение, скoрость и ускорение.

Траектория, путь, перемещение.

В дальнейшем, говоря о движущемся (или покоящемся) теле, мы всегда полагаем, что тело можно принять за материальную точку. Случаи, когда идеализацией материальной точки пользоваться нельзя, будут специально оговариваться.

Траектория — это линия, вдоль которой движется тело. На рис. 1 траекторией точки M является синяя дуга, которую описывает в пространстве конец радиус-вектора r.

Путь — это длина участка траектории, пройденного телом за данный промежуток времени.

Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела.

Предположим, что тело начало движение в точке A и закончило движение в точке B (рис. 2). Тогда путь, пройденный телом, это длина траектории ACB. Перемещение тела — это вектор \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OM}.

Рисунок 2.

Скорость и ускорение.

Рассмотрим движение тела в прямоугольной системе координат с базисом \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} (рис. 3).

Рисунок 3.

Пусть в момент времени t тело находилось в точке M(x, y, z) с радиус-вектором

\overrightarrow{OM}=\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}

Спустя малый промежуток времени \Delta t тело оказалось в точке N(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z) с

радиус-вектором

\overrightarrow{ON}=\vec{r}+\Delta \vec{r}=(x+\Delta x)\vec{i}+(y+\Delta y)\vec{j}+(z+\Delta z)\vec{k}

Перемещение тела:

\Delta r=\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=(\Delta x)\vec{i}+(\Delta y)\vec{j}+(\Delta z)\vec{k} (1)

Мгновенная скорость \Delta v в момент времени t – это предел отношения перемещения \Delta \vec{r} к интервалу времени \Delta t, когда величина этого интервала стремится к нулю; иными словами, скорость точки – это производная её радиус-вектора:

\vec{v}=\frac{\displaystyle \Delta \vec{\displaystyle r}}{\displaystyle \Delta \displaystyle t}=\frac{\displaystyle d\vec{r}}{\displaystyle dt} (2)

Из (2) и (1) получаем:

\vec{v}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\left ( \frac{\displaystyle \Delta \displaystyle x}{\displaystyle \Delta \displaystyle t}\vec{\displaystyle i}+\frac{\displaystyle \Delta \displaystyle y}{\displaystyle \Delta \displaystyle t}\vec{\displaystyle j}+\frac{\displaystyle \Delta \displaystyle z}{\displaystyle \Delta \displaystyle t}\vec{\displaystyle k} \right )

Коэффициенты при базисных векторах в пределе дают производные:

\dot{x}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\displaystyle \Delta \displaystyle x}{\displaystyle \Delta \displaystyle t}, \dot{y}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\displaystyle \Delta \displaystyle y}{\displaystyle \Delta \displaystyle t}, \dot{z}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\displaystyle \Delta \displaystyle z}{\displaystyle \Delta \displaystyle t}

(Производная по времени традиционно обозначается точкой над буквой.) Итак,

\vec{v}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}

Мы видим, что проекции вектора скорости на координатные оси являются производными координат точки:

\displaystyle v_{\displaystyle x}=\dot{x}, \displaystyle v_{\displaystyle y}=\dot{y}, \displaystyle v_{\displaystyle z}=\dot{z}.

Когда \Delta t стремится к нулю, точка N приближается к точке M и вектор перемещения \Delta \vec{r} разворачивается в направлении касательной. Оказывается, что в пределе вектор \Delta \vec{v} направлен точно по касательной к траектории в точке M. Это и показано на рис. 3.

Понятие ускорения вводится похожит образом. Пусть в момент времени t скорость тела равна \vec{v}, а спустя малый интервал \Delta t скорость стала равна \vec{v}+\Delta \vec{v}.

Ускорение \vec{a} – это предел отношения изменения скорости \Delta \vec{v} к интервалу \Delta {t}, когда этот интервал стремится к нулю; иначе говоря, ускорение – это производная скорости:

\vec{a}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\displaystyle \Delta \vec{\displaystyle v}}{\displaystyle \Delta \displaystyle t}=\frac{\displaystyle d\vec{\displaystyle a}}{\displaystyle dt}.

Ускорение, таким образом, есть “cкорость изменения скорости”. Имеем:

\vec{a}=\frac{\displaystyle d}{\displaystyle dt}(\displaystyle v_{\displaystyle x}\vec{\displaystyle i}+\displaystyle v_{\displaystyle y}\vec{\displaystyle j}+\displaystyle v_{\displaystyle z}\vec{\displaystyle k})=\dot{\displaystyle v_{\displaystyle x}}\vec{\displaystyle i}+\dot{\displaystyle v_{\displaystyle y}}\vec{\displaystyle j}+\dot{v_{\displaystyle z}}\vec{\displaystyle k}.

Следовательно, проекции ускорения являются производными проекций скорости (и, стало быть, вторыми производными координат):

\displaystyle a_{\displaystyle x}=\dot{\displaystyle v_{\displaystyle x}}=\ddot{\displaystyle x}, \displaystyle a_{\displaystyle y}=\dot{\displaystyle v_{\displaystyle y}}=\ddot{\displaystyle y}, \displaystyle a_{\displaystyle z}=\dot{\displaystyle v_{\displaystyle z}}=\ddot{\displaystyle z}.

Закон сложения скоростей.

Пусть имеются две системы отсчёта. Одна из них связана с неподвижным телом отсчёта O. Эту систему отсчёта обозначим K и будем называть неподвижной.

Вторая система отсчёта, обозначаемая {K} , связана с телом отсчёта {O}, которое движется относительно тела O со скоростью \vec{u} . Эту систему отсчёта называем движущейся. Дополнительно предполагаем, что координатные оси системы {K} перемещаются параллельно самим себе (нет вращения системы координат), так что вектор \vec{u} можно считать скоростью движущейся системы относительно неподвижной.

Неподвижная система отсчёта K обычно связана с землёй. Если поезд плавно едет по рельсам со скоростью \vec{u}, это система отсчёта, связанная с вагоном поезда, будет движущейся системой отсчёта {K}.

Заметим, что скорость любой точки вагона (кроме вращающихся колёс!) равна \vec{u}. Если муха неподвижно сидит в некоторой точке вагона, то относительно земли муха движется со скоростью \vec{u}. Муха переносится вагоном, и потому скорость \vec{u} движущейся системы относительно неподвижной называется переносной скоростью.

Предположим теперь, что муха поползла по вагону. Скорость мухи относительно вагона (то есть в движущейся системе {K}) обозначается {\vec{v}} и называется относительной скоростью. Скорость мухи относительно земли (то есть в неподвижной системе K ) обозначается \vec{v} и называется абсолютной скоростью.

Выясним, как связаны друг с другом эти три скорости – абсолютная, относительная и переносная.

На рис. 4 муха обозначена точкой M.Далее:

\vec{r} – радиус-вектор точки M в неподвижной системе K;

{\vec{r}} – радиус-вектор точки M в движущейся системе {K};

\vec{R} – радиус-вектор тела отсчёта {O} в неподвижной системе K.

Рисунок 4.

Как видно из рисунка,

\vec{r}=\vec{R}+{\vec{r}}

Дифференцируя это равенство, получим:

\frac{\displaystyle d\vec{\displaystyle r}}{\displaystyle dt}=\frac{\displaystyle d\vec{\displaystyle R}}{\displaystyle dt}+\frac{\displaystyle d{\vec{\displaystyle r}} (3)

(производная суммы равна сумме производных не только для случая скалярных функций, но и для векторов тоже).

Производная d\vec{r}/dt есть скорость точки M в системе K, то есть абсолютная скорость:

\frac{\displaystyle d\vec{\displaystyle r}}{\displaystyle dt}=\vec{v}.

Аналогично, производная d{\vec{r}} есть скорость точки M в системе {K}, то есть относительная скорость:

\frac{\displaystyle d{\vec{\displaystyle r}}

А что такое d\vec{R}/dt? Это скорость точки {O} в неподвижной системе, то есть – переносная скорость \vec{u} движущейся системы относительно неподвижной:

\frac{\displaystyle d\vec{\displaystyle R}}{\displaystyle dt}=\vec{u}

В результате из (3) получаем:

\vec{v}=\vec{u}+{\vec{v}}

Закон сложения скоростей. Скорость точки относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости движущейся системы и скорости точки относительно движущейся системы. Иными словами, абсолютная скорость есть сумма переносной и относительной скоростей.

Таким образом, если муха ползёт по движущемуся вагону, то скорость мухи относительно земли равна векторной сумме скорости вагона и скорости мухи относительно вагона. Интуитивно очевидный результат!

Виды механического движения.

Простейшими видами механического движения материальной точки являются равномерное и прямолинейное движения.

Движение называется равномерным, если модуль вектора скорости остаётся постоянным (направление скорости при этом может меняться).

Движение называется прямолинейным, если направление вектора скорости остаётся постоянным (а величина скорости при этом может меняться). Траекторией прямолинейного движения служит прямая линия, на которой лежит вектор скорости.

Например, автомобиль, который едет с постоянной скоростью по извилистой дороге, совершает равномерное (но не прямолинейное) движение. Автомобиль, разгоняющийся на прямом участке шоссе, совершает прямолинейное (но не равномерное) движение.

А вот если при движении тела остаются постоянными как модуль скорости, так и его направление, то движение называется равномерным прямолинейным.

В терминах вектора скорости можно дать более короткие определения данным типам движения:

  • равномерное движение \Leftrightarrow |\vec{v}|=const
  • прямолинейное движение \Leftrightarrow \frac{\displaystyle v}{|\vec{\displaystyle v}|}=const
  • равномерное прямолинейное движение \Leftrightarrow \vec{v}=const

Важнейшим частным случаем неравномерного движения является равноускоренное движение, при котором остаются постоянными модуль и направление вектора ускорения:

  • равноускоренное движение \Leftrightarrow \vec{a}=const

Наряду с материальной точкой в механике рассматривается ещё одна идеализация – твёрдое тело.

Твёрдое тело – это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются со временем. Модель твёрдого тела применяется в тех случаях, когда мы не можем пренебречь размерами тела, но можем не принимать во внимание изменение размеров и формы тела в процессе движения.

Простейшими видами механического движения твёрдого тела являются поступательное и вращательное движения.

Движение тела называется поступательным, если всякая прямая, соединяющая две какие-либо точки тела, перемещается параллельно своему первоначальному направлению. При поступательном движении траектории всех точек тела идентичны: они получаются друг из друга параллельным сдвигом (рис. 5).

Рисунок 5.

Движение тела называется вращательным, если все его точки описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях. При этом центры данных окружностей лежат на одной прямой, которая перпендикулярна всем этим плоскостям и называется осью вращения.

На рис. 6 изображён шар, вращающийся вокруг вертикальной оси. Так обычно рисуют земной шар в соответствующих задачах динамики.

Рисунок 6.