Х-ЕГЭ
Механические колебания

Колебания – это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания – это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия – это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела – это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний T – это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний \nu – это величина, обратная периоду: \nu =1/T. Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

Гармонические колебания.

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой x. Положению равновесия отвечает значение x=0. Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции x(t) , дающей координату тела в любой момент времени.
Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них – синус и косинус – являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на \pi /2, можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания – это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

x=Acos(\omega t+\alpha ) (1)

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина A является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому A – амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса \omega t+\alpha называется фазой колебаний. Величина \alpha , равная значению фазы при t=0 , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: x_{0}=Acos \alpha .

Величина называется \omega циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний T и частотой \nu. Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное 2 \pi радиан: \omega T=2 \pi, откуда

\omega = \frac{\displaystyle 2\pi }{\displaystyle T} (2)

\omega =2 \pi \nu (3)

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):

x=Acos(\frac{\displaystyle 2\pi t }{\displaystyle T}+ \alpha), x=Acos(2 \pi \nu t + \alpha).

График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину x_{0} и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае x_{0}=A, поэтому можно положить \alpha=0. Мы получаем закон косинуса:

x=Acos \omega t.

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае x_{0}=0, так что можно положить \alpha =-\pi /2. Получаем закон синуса:

x=Asin \omega t.

График колебаний представлен на рис. 3.

Рис. 3. Закон синуса

Уравнение гармонических колебаний.

Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:
v_{x}=\dot{x}=-A\omega sin(\omega t+\alpha ). (4)

Теперь дифференцируем полученное равенство (4):

a_{x}=\ddot{x}=-A\omega^{2} cos(\omega t+\alpha ). (5)

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем -\omega^{2}:

a_{x}=-\omega^{2}x. (6)

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

\ddot{x}+\omega^{2}x=0. (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными A, \alpha;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой \omega и только их. Две константы A, \alpha определяются из начальных условий – по начальным значениям координаты и скорости.

Пружинный маятник.

Пружинный маятник – это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.
Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу m, жёсткость пружины равна k.

Координате x=0отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости \vec F со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось X имеет вид:

ma_{x}=F_{x}. (8)

Импульс
Импульс

Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

\vec{p} = m\vec{\upsilon } .

Специальных единиц измерения импульса нет. Размерность импульса — это просто произведение размерности массы на размерность скорости:

[p]=[m]\cdot [\upsilon ]= \frac{\displaystyle kg\cdot m}{\displaystyle c}.

Почему понятие импульса является интересным? Оказывается, с его помощью можно придать второму закону Ньютона несколько иную, также чрезвычайно полезную форму.

Второй закон Ньютона в импульсной форме

Пусть \vec{F}  — равнодействующая сил, приложенных к телу массы m. Начинаем с обычной записи второго закона Ньютона:

m\vec{a} =\vec{F} .

С учётом того, что ускорение тела \vec{a}  равно производной вектора скорости, второй закон Ньютона переписывается следующим образом:

m\frac{\displaystyle d\vec{\upsilon } }\displaystyle {dt}=\vec{F} .

Вносим константу m под знак производной:

\frac{\displaystyle d(m\vec{\upsilon } )}{\displaystyle dt}= \vec{F} .

Как видим, в левой части получилась производная импульса:

\frac{\displaystyle d\vec{\displaystyle p} }{\displaystyle dt}= \vec{F} . ( 1)

Соотношение ( 1) и есть новая форма записи второго закона Ньютона.

Второй закон Ньютона в импульсной форме. Производная импульса тела есть равнодействующая приложенных к телу сил.

Можно сказать и так: результирующая сила, действующая на тело, равна скорости изменения импульса тела.

Производную в формуле ( 1) можно заменить на отношение конечных приращений:

\frac{\displaystyle \Delta \vec{\displaystyle p} }{\Delta \displaystyle t}= \vec{\displaystyle F} . ( 2)

В этом случае \vec{F}  есть средняя сила, действующая на тело в течение интервала времени \Delta t. Чем меньше величина \Delta t, тем ближе отношение \Delta \vec{p} /\Delta t к производной d\vec{p} /dt, и тем ближе средняя сила \vec{F}  к своему мгновенному значению в данный момент времени.

В задачах, как правило, интервал времени \Delta t достаточно мал. Например, это может быть время соударения мяча со стенкой, и тогда \vec{F}  — средняя сила, действующая на мяч со стороны стенки во время удара.

Вектор \Delta \vec{p}  в левой части соотношения ( 2) называется изменением импульса за время \Delta t. Изменение импульса — это разность конечного и начального векторов импульса. А именно, если \vec{p} _{0} — импульс тела в некоторый начальный момент времени, \vec{p}  — импульс тела спустя промежуток времени \Delta t, то изменение импульса есть разность:

\Delta \vec{p} = \vec{p} -\vec{p} _{0}.

Подчеркнём ещё раз, что изменение импульса — это разность векторов (рис. 1):

Рис. 1. Изменение импульса

Пусть, например, мяч летит перпендикулярно стенке (импульс перед ударом равен \vec{p} _{0} ) и отскакивает назад без потери скорости (импульс после удара равен \vec{p}= -\vec{p} _{0}). Несмотря на то, что импульс по модулю не изменился (p= p _{0}), изменение импульса имеется:

\Delta \vec{p} = \vec{p} -\vec{p} _{0}= -\vec{p} _{0}-\vec{p} _{0}= -2\vec{p} _{0}.

Геометрически эта ситуация показана на рис. 2:

Рис. 2. Изменение импульса при отскоке назад

Модуль изменения импульса, как видим, равен удвоенному модулю начального импульса мяча: \Delta p= 2p_{0}.

Перепишем формулу ( 2) следующим образом:

\Delta \vec{p} =\vec{F} \Delta t, ( 3)

или, расписывая изменение импульса, как и выше:

\vec{p} -\vec{p} _{0}=\vec{F} \Delta t.

Величина \vec{F} \Delta t называется импульсом силы. Специальной единицы измерения для импульса силы нет; размерность импульса силы равна просто произведению размерностей силы и времени:

[F\Delta t]= [F]\cdot [t]= H\cdot c.

(Обратите внимание, что H\cdot c оказывается ещё одной возможной единицей измерения импульса тела.)

Словесная формулировка равенства ( 3) такова: изменение импульса тела равно импульсу действующей на тело силы за данный промежуток времени. Это, разумеется, снова есть второй закон Ньютона в импульсной форме.

Пример вычисления силы

В качестве примера применения второго закона Ньютона в импульсной форме давайте рассмотрим следующую задачу.

Задача. Шарик массы m= 100 г, летящий горизонтально со скоростью \upsilon = 6 м/с, ударяется о гладкую вертикальную стену и отскакивает от неё без потери скорости. Угол падения шарика (то есть угол между направлением движения шарика и перпендикуляром к стене) равен \alpha = 60^{\circ}. Удар длится \Delta t= 0,01 с. Найти среднюю силу,
действующую на шарик во время удара.

Решение. Покажем прежде всего, что угол отражения равен углу падения, то есть шарик отскочит от стены под тем же углом \alpha  (рис. 3).

Рис. 3. К задаче (вид сверху)

Тут всё дело в том, что стена — гладкая. Это значит, что трения между шариком и стеной нет. Следовательно, со стороны стены на шарик действует единственная сила \vec{N}  — сила упругости, направленная перпендикулярно стене (рис. 4).

Рис. 4. К задаче

Согласно ( 3) имеем: \Delta \vec{p} = \vec{N} \Delta t. Отсюда следует, что вектор изменения импульса сонаправлен с вектором \vec{N} , то есть направлен перпендикулярно стене в сторону отскока шарика (рис. 5).

Рис. 5. К задаче

Векторы \vec{p} _{0} и
\vec{p}  равны по модулю
(так как скорость шарика не изменилась). Поэтому треугольник, составленный из векторов \vec{p} _{0}\vec{p}  и \Delta \vec{p} , является равнобедренным. Значит, угол между векторами \vec{p}  и \Delta \vec{p}  равен \alpha , то есть угол отражения действительно равен углу падения.

Теперь заметим вдобавок, что в нашем равнобедренном треугольнике есть угол 60^{\circ} (это угол падения); стало быть, данный треугольник — равносторонний. Отсюда:

\Delta p= p_{0}= m\upsilon = 0,1\cdot 6= 0,6~H\cdot c.

И тогда искомая средняя сила, действующая на шарик:

N= \frac{\displaystyle \Delta p}{\displaystyle \Delta t}= \frac{\displaystyle 0,6}{\displaystyle 0,01}= 60~H.

Импульс системы тел

Начнём с простой ситуации системы двух тел. А именно, пусть имеются тело 1 и тело 2 с импульсами \vec{p} _{1} и \vec{p} _{2} соответственно. Импульс \vec{p}  системы данных тел — это векторная сумма импульсов каждого тела:

\vec{p} = \vec{p} _{1}+\vec{p} _{2}.

Оказывается, для импульса системы тел имеется формула, аналогичная второму закону Ньютона в виде ( 1). Давайте выведем эту формулу.

Все остальные объекты, с которыми взаимодействуют рассматриваемые нами тела 1 и 2, мы будем называть внешними телами. Силы, с которыми внешние тела действуют на тела 1 и 2, называем внешними силами. Пусть \vec{F} _{1} — результирующая внешняя сила, действующая на тело 1. Аналогично \vec{F} _{2} — результирующая внешняя сила, действующая на тело 2 (рис. 6).

Рис. 6. Система двух тел

Кроме того, тела 1 и 2 могут взаимодействовать друг с другом. Пусть тело 2 действует на тело 1 с силой \vec{T} . Тогда тело 1 действует на тело 2 с силой {\vec{T} }. По третьему закону Ньютона силы \vec{T}  и {\vec{T} } равны по модулю и противоположны по направлению: {\vec{T} }. Силы \vec{T}  и {\vec{T} } — это внутренние силы, действующие в системе.

Запишем для каждого тела 1 и 2 второй закон Ньютона в форме ( 1):

\frac{\displaystyle d\vec{\displaystyle p} _ {\displaystyle 1}}{\displaystyle dt}=\vec{F} _{1}+\vec{T} , ( 4)

\frac{\displaystyle d\vec{\displaystyle p} _{\displaystyle 2}}{\displaystyle dt}=\vec{F} _{2}+{\vec{T}}. ( 5)

Сложим равенства ( 4) и ( 5):

\frac{\displaystyle d\vec{\displaystyle p} _{\displaystyle 1}}{\displaystyle dt}+\frac{\displaystyle d\vec{\displaystyle p} _{\displaystyle 2}}{\displaystyle dt}= \vec{F} _{1}+\vec{F} _{2}+\vec{T} +{\vec{T}}.

В левой части полученного равенства стоит сумма производных, равная производной суммы векторов \vec{p} _{1} и \vec{p} _{2}. В правой части имеем \vec{T} +{\vec{T}} в силу третьего закона Ньютона:

\frac{\displaystyle d(\vec{\displaystyle p} _{\displaystyle 1}+\vec{\displaystyle p} _{\displaystyle 2})}{\displaystyle dt}= \vec{F} _{1}+\vec{F} _{2}.

Но \vec{p} _{1}+\vec{p} _{2}= \vec{p}  — это импульс системы тел 1 и 2. Обозначим также \vec{F} _{1}+\vec{F} _{2}= \vec{F} _{external} — это результирующая внешних сил, действующих на систему. Получаем:

\frac{d\vec{\displaystyle p} }{\displaystyle dt}= \vec{F} _{external}. ( 6)

Таким образом, скорость изменения импульса системы тел есть равнодействующая внешних сил, приложенных к системе. Равенство ( 6), играющее роль второго закона Ньютона для системы тел, мы и хотели получить.

Формула ( 6) была выведена для случая двух тел. Теперь обобщим наши рассуждения на случай произвольного количества тел в системе.

Импульсом системы тел тел называется векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему. Если система состоит из N тел, то импульс этой системы равен:

\vec{p} = \vec{p} _{1}+\vec{p} _{2}+...+\vec{p} _{N}.

Дальше всё делается совершенно так же, как и выше (только технически это выглядит несколько сложнее). Если для каждого тела записать равенства, аналогичные ( 4) и ( 5), а затем все эти равенства сложить, то в левой части мы снова получим производную импульса системы, а в правой части останется лишь сумма внешних сил (внутренние силы, попарно складываясь, дадут нуль ввиду третьего закона Ньютона). Поэтому равенство ( 6) останется справедливым и в общем случае.

Закон сохранения импульса

Система тел называется замкнутой, если действия внешних тел на тела данной системы или пренебрежимо малы, или компенсируют друг друга. Таким образом, в случае замкнутой системы тел существенно лишь взаимодействие этих тел друг с другом, но не с какими-либо другими телами.

Равнодействующая внешних сил, приложенных к замкнутой системе, равна нулю: \vec{F} _{external}= \vec{0} . В этом случае из ( 6) получаем:

\frac{\displaystyle d\vec{\displaystyle p} }{\displaystyle dt}= \vec{0} .

Но если производная вектора обращается в нуль (скорость изменения вектора равна нулю), то сам вектор не меняется со временем:

\vec{p} = const.

Закон сохранения импульса. Импульс замкнутой системы тел остаётся постоянным с течением времени при любых взаимодействиях тел внутри данной системы.

Простейшие задачи на закон сохранения импульса решаются по стандартной схеме, которую мы сейчас покажем.

Задача. Тело массы m_{1}= 800 г движется со скоростью \upsilon _{1}= 3 м/с по гладкой горизонтальной поверхности. Навстречу ему движется тело массы m_{2}= 200 г со скоростью \upsilon _{2}= 13 м/с. Происходит абсолютно неупругий удар (тела слипаются). Найти скорость тел после удара.

Решение. Ситуация изображена на рис. 7. Ось X направим в сторону движения первого тела.

Рис. 7. К задаче

Поскольку поверхность гладкая, трения нет. Поскольку поверхность горизонтальная, а движение происходит вдоль неё, сила тяжести и реакция опоры уравновешивают друг друга:

m_{1}\vec{g} +\vec{N} _{1}= \vec{0} ,
m_{2}\vec{g} +\vec{N} _{2}= \vec{0} .

Таким образом, векторная сумма сил, приложенных к системе данных тел, равна нулю. Это значит, что система тел замкнута. Стало быть, для неё выполняется закон сохранения импульса:

\vec{p} _{before~hitting}= \vec{p} _{after~hitting}. ( 7)

Импульс системы до удара — это сумма импульсов тел:

\vec{p} _{before~hitting}= m_{1}\vec{\upsilon _{1}} +m_{2}\vec{\upsilon _{2}} .

После неупругого удара получилось одно тело массы m_{1}+m_{2}, которое движется с искомой скоростью \vec{\upsilon } :

\vec{p} _{after~hitting}= (m_{1}+m_{2})\vec{\upsilon } .

Из закона сохранения импульса ( 7) имеем:

m_{1}\vec{\upsilon _{1}} +m_{2}\vec{\upsilon _{2}} = (m_{1}+m_{2})\vec{\upsilon } .

Отсюда находим скорость тела, образовавшегося после удара:

\vec{\upsilon} = \frac{\displaystyle m_{\displaystyle 1}\vec{\displaystyle \upsilon _{\displaystyle 1}} +\displaystyle m_{\displaystyle 2}\vec{\displaystyle \upsilon _{\displaystyle 2}} }{\displaystyle m_{\displaystyle 1}+\displaystyle m_{\displaystyle 2}}.

Переходим к проекциям на ось X:

\upsilon _{x}= \frac{\displaystyle m_{\displaystyle 1}\displaystyle \upsilon _{\displaystyle 1x}+\displaystyle m_{\displaystyle 2}\upsilon _{\displaystyle 2x}}{\displaystyle m_{\displaystyle 1}+\displaystyle m_{\displaystyle 2}}.

По условию имеем: \upsilon _{1x}= 3 м/с, \upsilon _{2x}= -13 м/с, так что

\upsilon _{x}= \frac{\displaystyle 0,8\cdot 3-0,2\cdot 13}{\displaystyle 0,8+0,2}= -0,2\frac{m}{c}.

Знак минус указывает на то, что слипшиеся тела двигаются в сторону, противоположную оси X. Искомая скорость: \upsilon = 0,2 м/с.

Закон сохранения проекции импульса

Часто в задачах встречается следующая ситуация. Система тел не является замкнутой (векторная сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю), но существует такая ось Xсумма проекций внешних сил на ось X равна нулю в любой момент времени. Тогда можно сказать, что вдоль данной оси наша система тел ведёт себя как замкнутая, и проекция импульса системы на ось X сохраняется.

Покажем это более строго. Спроектируем равенство ( 6) на ось X:

\frac{\displaystyle dp_{\displaystyle x}}{\displaystyle dt}= F_{external,x}.

Если проекция равнодействующей внешних сил обращается в нуль, F_{external,x}= 0, то

\frac{\displaystyle dp_{\displaystyle x}}{\displaystyle dt}= 0.

Следовательно, проекция p_{x} есть константа:

p_{x}= const.

Закон сохранения проекции импульса. Если проекция на ось X суммы внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то проекция p_{x} импульса системы не меняется с течением времени.

Давайте посмотрим на примере конкретной задачи, как работает закон сохранения проекции импульса.

Задача. Мальчик массы M, стоящий на коньках на гладком льду, бросает камень массы m со скоростью \upsilon  под углом \alpha  к горизонту. Найти скорость u, с которой мальчик откатывается назад после броска.

Решение. Ситуация схематически показана на рис. 8. Мальчик изображён прямогольником.

Рис. 8. К задаче

Импульс системы «мальчик + камень» не сохраняется. Это видно хотя бы из того, что после броска появляется вертикальная составляющая импульса системы (а именно, вертикальная составляющая импульса камня), которой до броска не было.

Стало быть, система, которую образуют мальчик и камень, не замкнута. Почему? Дело в том, что векторная сумма внешних сил M\vec{g} +m\vec{g} +\vec{N}  не равна нулю во время броска. Величина N больше, чем сумма Mg+mg, и за счёт этого превышения как раз и появляется вертикальная компонента импульса системы.

Однако внешние силы действуют только по вертикали (трения нет). Стало быть, сохраняется проекция импульса на горизонтальную ось X. До броска эта проекция была равна нулю. Направляя ось X в сторону броска (так что мальчик поехал в направлении отрицательной полуоси), получим:

-Mu+m\upsilon _{0}\cos \alpha = 0,

откуда

u=\frac{m\upsilon _{0}\cos \alpha }{M}.

Световые лучи
Световые лучи

Мы приступаем к изучению оптики – науки о распространении света. Нас ждут два раздела оптики: сравнительно простая геометрическая оптика и более общая волновая оптика.

Говоря о свете, мы всегда подразумеваем видимый свет, то есть электромагнитные волны в узком частотном диапазоне, непосредственно воспринимаемые человеческим глазом. Как вы помните, длины волн видимого света находятся в промежутке от 380 до 780 нм.

С точки зрения электродинамики Максвелла распространение света ничем не отличается от распространения других электромагнитных излучений – радиоволн, инфракрасного, ультрафиолетового, рентгеновского и гамма-излучения. В этом смысле оптика оказывается просто частью электродинамики.

Но ввиду той колоссальной роли, которую свет играет в жизни человека, оптические явления начали изучаться давным-давно. Все основные законы оптики были установлены задолго до создания электродинамики и открытия электромагнитных волн. И потому с тех давних пор оптика оформилась в самостоятельный раздел физики – со своими специфическими задачами, методами, экспериментами и приборами.

Главным природным источником света служит Солнце, и люди ставили много опытов с солнечными лучами. Отсюда в оптику вошло понятие светового луча. Впоследствии оно получило строгое определение.

Световой луч – это геометрическая линия, которая в каждой своей точке перпендикулярна волновому фронту, проходящему через эту точку. Направление светового луча совпадает с направлением распространения света.

Если данное определение осталось для вас не совсем понятным – ничего страшного: на первых порах вы можете представлять себе просто узкие пучки света наподобие солнечных лучей. Этого вполне хватит, чтобы уяснить все основные вещи и научиться решать задачи. Ну а время строгого определения придёт несколько позже – когда начнётся волновая оптика.

Законы геометрической оптики.

Геометрическая оптика изучает распространение световых лучей. Это исторически первый и наиболее простой раздел оптики. В основе геометрической оптики лежат четыре основных
закона.

1. Закон независимости световых лучей.
2. Закон прямолинейного распространения света.
3. Закон отражения света.
4. Закон преломления света.

Данные законы были установлены в результате наблюдений за световыми лучами и послужили обобщениями многочисленных опытных фактов. Они являются утверждениями, сформулированными на языке геометрии. Волновая природа света в них не затрагивается.

Законы геометрической оптики первоначально являлись постулатами. Они лишь констатировали: таким вот образом ведёт себя природа. Однако впоследствии оказалось, что законы геометрической оптики могут быть выведены из более фундаментальных законов волновой оптики.

Геометрическая оптика отлично работает, когда длина световой волны \lambda  много меньше размеров объектов, присутствующих в данной физической ситуации. Можно сказать, что геометрическая оптика есть предельный случай волновой оптики при \lambda \rightarrow 0. Неудивительно поэтому, что сначала были открыты законы именно геометрической оптики: ведь размеры предметов, встречающихся нам в повседневной жизни, намного превышают длины волн видимого света.

Первый закон геометрической оптики совсем простой. Он говорит о том, что вклад каждого светового луча в суммарное освещение не зависит от наличия других лучей.

Закон независимости световых лучей.
 Если световые лучи пересекаются, то они не оказывают никакого влияния друг на друга. Каждый луч освещает пространство так, как если бы других лучей вообще не было.

Закон прямолинейного распространения света также очень прост, и мы его сейчас обсудим. Законам отражения и преломления будут посвящены следующие разделы.

Закон прямолинейного распространения света. В прозрачной однородной среде световые лучи являются прямыми линиями.

Что такое “прозрачная однородная среда”? Среда называется прозрачной, если в ней может распространяться свет. Среда называется однородной, если её свойства не меняются от точки
к точке. Равномерно прогретый воздух, чистая вода, стекло без примесей – всё это примеры прозрачных и оптически однородных сред.

Таким образом, закон прямолинейного распространения света означает, что в прозрачной однородной среде понятие светового луча совпадает с понятием луча в геометрии.

Данный закон не требует каких-либо дополнительных пояснений – он хорошо вам известен. Вам неоднократно доводилось видеть прямолинейные солнечные лучи, пронизывающие облака, или тонкий прямой луч, пробивающийся в запылённой комнате через щель в окне. Находясь под водой, можно наблюдать прямые солнечные лучи, идущие сквозь воду.

При нарушении однородности среды нарушается и закон прямолинейного распространения света. Например, на границе раздела двух прозрачных сред световой луч может разделиться на два луча: отражённый и преломлённый. Если оптические свойства среды меняются от точки к точке, то ход световых лучей искривляется. В этом состоит причина миражей: слой воздуха вблизи раскалённой земной поверхности нагрет больше, чем вышележащие слои; он имеет иные оптические свойства, и его действие оказывается подобным зеркалу. Обо всём этом мы поговорим позднее.

Геометрическая тень.

Вам хорошо известно, что различные предметы отбрасывают тень. На рис. 1 изображён точечный источник света S и непрозрачный предмет – красный треугольник. На экране мы видим тень этого предмета в виде серого треугольника.

Откуда берётся тень? Дело в том, что если на пути световых лучей оказывается непрозрачный предмет, то происходит следующее.

1.Луч, идущий мимо предмета, продолжает распространяться в прежнем направлении – как если бы данного предмета вообще не было.

2. Луч, попадающий на предмет, не проникает внутрь предмета. Дальнейший ход такого луча в прежнем направлении пресекается.

Так возникает геометрическая тень, края которой чётко очерчены. Поскольку свет распространяется прямолинейно, форма геометрической тени оказывается подобной контуру предмета. Так, на рис. 1 серый треугольник подобен красному.

Граница реальной тени имеет более сложный вид: вмешивается дифракция света на краях предмета. Дифракция – это отклонение света от первоначального направления; данное явление обусловлено волновой природой света и не описывается в рамках геометрической оптики.

Рис. 1. Геометрическая тень